තොරතුරු පද්ධති. (Information System) 1

Y=2X+3

• ඉහත වීජීය ප්‍රකාෂණයේ  X සදහා -අනන්තයේ සිට + අනන්තය දක්වා අගයන් ගත හැකි අතර ඊට අදාල Y සදහා -අනන්තයේ සිට + අනන්තය දක්වා අගයන් ලැබේ.
• උදා:-

• මේ අනුව සාමාන්‍යය වීජ ගණිතයේදී අගයන් සදහා දශමය සංඛ්‍යා පද්ධති - අනන්තයේ සිට + අනන්තය දක්වාද සංඛ්‍යයා භාවිතා කරයි.

බූලීය වීජ ගණිතය (Boolan Values)

• බූලීය වීජ ගණිතයේ දී අගයන් දැක්වීම සදහා අවස්ථා දෙකක් පමණක් ඉදිරිපත් කරයි. මෙම අවස්ථා දෙක දැක්වීම සදහා True,False යන වචන 1 හෝ 0 යන වචන දෙක භාවිතා කරයි.

බූලීය ප්‍රකාශන (Boolen Expressions)

• මෙවැනි ප්‍රකාශනයකට බූලීය අගය පමණක් අනුගත කළහැකි නම් එවැනි පකාශනයක් බූලීය ප්‍රකාශනයක් ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
• උදා:-        ගින්දර සිසිල් වස්තුවකි           = False 

                              සිංහයා මාංශ භක්ෂක සතෙකි =True 

බූලීය විචල්‍යය (Boolen Variables)

• යම් කිසි විචල්‍යයකට ගත හැක්කේ බූලීය අගයන් පමණක් මෙන් මෙම විචල්‍යය බූලීය විචල්‍යයක් වශයෙන් හැදින්වේ.

බූලීය ගණිත කාර්ම (Boolen operation)

• OR          බූලීය ආකලනය  Boolen Addition
• AND       බූලීය ගුණිතය      Boolen Multiphication
• NOT        බූලීය අනුපුරකය Boolen Complemention

 බූලීය ආකලනය OR

• බූලීය ආකලනය යන කර්මය සදහා "+"සංකේතය භාවිතා කෙරේ මෙය OR ලෙස හැදින්වේ. මෙම සංකේතය සාමන්‍යය වීජ ගණිතයේදී ඓක්‍යය සදහා භාවිතා වන අතර බූලියන් වීජ ගණිතයේදී මෙම කර්මය සදහා වෙනත් අර්ථයක් ඇත. A,B යන බූලීය විචල්‍යයය දෙකක් නම් A+B හෝ A OR B යන ප්‍රකාශනය සලකා බලමු .
• මෙහිදී අවස්ථා බූලීය ප්‍රකාශනයක බූලීය විචල්‍යය ගන්නා අගය අනුව බූලීය ප්‍රකාශනය අගය වෙනස් වන ආකාරයේ දැක්වෙන වගුවට සත්‍යතා වගුවක් යැයි කියනු ලැබේ.

• A හා B යන බූලීය විචල්‍යය දෙකෙහිම අගයන් 0 නම් පමණක් A+B යන්න වේ. අනෙකුත් සෑම අවස්ථාවකම A+B අගය 1 වේ.
• A,B,C යන බූලීය විචල්‍යය 3 නම් A+B+C හෝ A OR B OR C යන ප්‍රකාශනය සලකා බලමු මෙහිදී A,B,C යන විචල්‍යය 3 ට ගත හැකි විවිධ අගයන් දැක්වීම සදහා තීර 8 කින් යුත් සත්‍යතා වගුවක් ගොඩ නැගිය යුතුය.

බූලීය  ආකලනය AND

• බූලීය ගුණිත කාර්ම සදහා "." සංකේතය භාවිතා කරයි AND කර්මය ලෙස හැදින්වේ. A හා B යනු බූලීය විචල්‍යය දෙකක්ම (A AND B) යන ප්‍රකාශනයට ඉදිරිපත් කළ හැකි විවිධ අගයන් සත්‍යතා වගුවක් පහත දැක්වේ.

 

• A හා B යන බූලීය විචල්‍යය දෙකේම අගයන් 1 පමණක් A.B අගය 1 වේ. 
• A,B,C  බූලීය විචල්‍යය 3 නම් A.B.C (A AND B AND C) සදහා සත්‍යතා වගුවක් සලකා බලමු.

 බූලීය අනුපුරකය (NOT)

• NOT යන කාර්ම සදහා "-" "`" සංකේත භාවිතා කරයි A බූලීය විචල්‍යයක් නම් NOT A යන ප්‍රකාශනය සලකා බලන්න. මෙහි දී අවස්ථා දෙකක් ගැන සලකා බැලිය යුතුය.

 

• A හි අගය 1 වන විට NOT A හි අගය 1 වේ.
• NOT කර්මය සදහා භාවිතා කරන්නේ 1 විචල්‍යයක් පමණයි.

බූලීය ප්‍රකාශන සුළු කිරීම

• සාමන්‍යය ගණිතයේදී සමීකරණ සුලුකිරීම.
• Y =2+{(6*4)/3}*2-5
• Y =2+(24/3)*2-5
• Y =2+8*2-5
• Y =2+16-5
• Y =18-5
• Y =13

• බූලීය ප්‍රකාශන සහ සමීකරණ සුළු කිරීමේදී පහත නීති අනුගමනය කලයුතුය .
• වමෙන් පටන්ගෙන දකුණට ආයුතුය.
• වරහන් වල ඇති කර්මයන් පළමුව සිදුකල යුතුය.
• NOT කර්මය වමේ සිත දකුණට සිදුකල යුතුය.
• සියලුම AND කර්මය වමේ සිට දකුණට සිදුකල යුතුය.
• අවසානයේ OR කර්මය වමේ සිට දකුණට සිදුකල යුතුය.

• A+B.C බූලීය ප්‍රකාශනය සුළු කිරීමේදී වමෙසිට දකුණට යනවිට OR සහ AND ගුණිත කර්මයන් දෙකම හමු වේ.
• මින් පළමුව AND කර්මය සුළුකළ යුතුය.(B.C)
• ඉන් අනතුරුව OR කර්මය සිදුකර යුතුය.

බූලියානු වීජ ගණිතයේ මුලික ප්‍රමේයයන් 

•  XYZ බූලීය විචල්‍යයන් ලෙස සලකමු.
• X =0 වන්නේ X<>1 නම් හා නම් ම පමණි.
• X=1  වන්නේ X<>0 නම් හා නම් ම පමණි.

අනන්‍යතා න්‍යාය(indeutify law)

•    X+0  = X 
•    X.0   =  0
•    X+1  =  1
•    X.1   =  X
•    X.X  =  1
•    X+X=   0 

  න්‍යාදේශ න්‍යාය (commutative law)

• X+Y=Y+X
• X.Y = Y.X

සංඝටන න්‍යාය (Associative law)

• X+(Y+Z)=(X+Y)+Z
• X. (Y.Z)  = (X.Y).Z

විඝටන න්‍යාය (distibutive law) 

• X.(Y+Z) =(X.Y)+(X.Z)
•  X+(Y.Z)=(X+Y).(X+Z)

සමරික්තතාව (Redundancy)

•  X+(X.Y)=X
• X(X+Y) =X

ඩිමෝගන් හි න්‍යාය (demorgans law)

සම්මත තාර්කික ප්‍රකාශන

• තාර්කික ප්‍රකාශන ඒවායේ එකතුව හා ගුණිතය යොදාගන්නා ආකාරය අනුව ප්‍රදාන වර්ග දෙකකි.
• ගුණිතයන්ගේ ඓක්‍යය දැක්වෙන ප්‍රකාශන. (SOP)
• ඓක්‍යයන්ගේ ගුණිතය දැක්වෙන ප්‍රකාශන. (POS)

A.B+A.B`

• ඉහත ප්‍රකාශනයේ A හා B යන විචල්‍යයන් දෙක අදාල පද දෙකේම ඇති නිසා මෙවැනි SOP ප්‍රකාශන සම්මත SOP ප්‍රකාශන ලෙස හදුන්වයි.
• SOP =Standed of Product (mintermes)

A+B`.A+B`

•  ඉහත ප්‍රකාශනයේ එකතුව දැක්වෙන පද දෙකෙහි අදාල විචල්‍යයන් දෙකම පවතින බැවින් එය සම්මත POS ප්‍රකාශනයක් ලෙස හැදින්වේ.
• POS=maxterms 

සත්‍යයතා වගුවක් ඇසුරෙන් SOP සහ POS ප්‍රකාශන ලබාගැනීම

• ඉහත සත්‍යතා වගුවේ ප්‍රතිධානය 1 වන අවස්ථා සියල්ලෙහි එකතුව සම්මත SOP ප්‍රකාශනය ලෙස හැදින්වේ. මෙහිදී එම සත්‍යතා වගුව ඇසුරෙන් POS සදහා ද ලබාගත හැකිය.
• ඉහත සත්‍යතා වගුවේ output 0 වන අවස්ථාවන් සියල්ලෙහි ගුණිතය POS ප්‍රකාශනය ලෙස දැක්වෙන අතර අදාල එක් එක් පද ලබාගැනීමේදී සත්‍යතා වගුවේ දැක්වෙන විචල්‍යය අදාල අගයේ අනුරූපකය . + කිරීමේ සලකුණ සමග ලිවිය යුතුය.

A+B+C.A+B`+C.A+B`+C`.A`+B+C`.A`+B`+C

• SOPප්‍රකාශනයක් සම්මත SOP ප්‍රකාශනයක් බවට පරිවර්තනය කිරීම .

AB`C+A`B+ABC`D

• ඉහත ප්‍රකාශනයේ ගුනිතයන් සහිත පද සැලකූවිට සෑම පදයකටම විචල්‍යයන් සියල්ලම අන්තර්ගත නොවේ. එමනිසා මෙම SOP ප්‍රකාශනය සම්මත SOP ප්‍රකාශනයක් බවට හැරවීම පහත ආකාරයට සිදුකල යුතුය.
•  අදාල ප්‍රකාශනයේ එක් එක් පද වලට අඩු විචල්‍යයන් හදුනාගන්න.
• එම අඩු විචල්‍යය සහිත පදය සහ එහි අනුපූරකය එකතුවෙන් අදාල පදය ගුණ කරන්න.
• ඒ ආකාරයට සියලුම පද වල අඩු විචල්‍යයන් හදුනාගෙන අදාල අඩු පදය හා එහි අනුපුරක එකතුවෙන් ගුණ කොට සම්මත SOP ප්‍රකාශනය ලබාගන්න.

AB`C+A`B`+ABC`D
 මෙහි පළමු පදය 

•  AB`C(D+D`)
• AB`CD+AB`CD` වේ.

මෙහි දෙවන පදය 

• A`B`
• A`B`(C+C`)
• A`B`C+A`B`C`
•  A`B`C(D+D`)+A`B`C`(D+D`)
•  A`B`CD+A`B`CD`+A`B`C`D+A`B`C`D`වේ.

මෙහි තෙවන පදය සම්මත නොකිරීමට හේතුව එහි විචල්‍යයන් සියල්ලම තිබීමයි.

•  මෙහි සම්මත SOP ප්‍රකාශනය 

AB`CD+AB`CD`+A`B`CD+A`B`CD`+A`B`C`D+A`B`C`D`+ABC`D

කානව සිතියම් ඇසුරෙන් තාර්කික ප්‍රකාශන සුළුකිරීම

•  Maurice karanagh නමැති විදුලි සංදේශ ඉංජිනේරුවරයා විසින් 1953 දී තාර්කික ප්‍රකාශන සුළු කිරීමේ සදහා කානව  සිතියම් ක්‍රමය හදුන්වාදෙන ලදී. අදාල ප්‍රකාශනය යොදාගන්නා බූලියන් විචල්‍යයක් අනුව අදිනු ලබන කානව සිතියම වෙනස්වන අතර මෙමගින් පහසුවෙන් මෙමගින් බූලියානු ප්‍රකාශනය සුලුකර හැකිය.
• විචල්‍යයන්  දෙකක් සහිත බූලියන් ප්‍රකාශනයක් සදහා කානව සිතියම ඇදීම.
• A,B බූලියන්ආදානයන් ලෙසද P ප්‍රතිදානය ලෙසද දැක්වෙන සත්‍යයතා වගුව ඇසුරෙන් කානව සිතියම නිර්මාණය කොට ඒ ඇසුරෙන් ප්‍රකාශනය සුළු කරණු ලැබේ.

    A    B   P 
    0     0    1 
    0     1    1
    1     0    0
    1     1    1

•  A`+B

•  ඉහත කානව සිතියමෙහි 1 වන අවස්ථා කාණ්ඩ කිරීමෙන් අදාල ප්‍රකෂණයේ සුළු කර ලැබෙන පිළිතුරු ගත හැකිය. මෙහිදී කාණ්ඩ කිරීම සදහා 1 වන අවස්ථා දෙකක් ,4,8 හෝ 16 කාන්ඩකර හැකි.
• කාණ්ඩ කිරීමට නොමැති අවස්ථා වකදී 1 දැක්වෙන කොටුව පිළිතුර ලෙස ගනුලැබේ.

A`B+AB`+AB

0  1    1 0    1 1

• A+B

•  විචල්‍යයන් 4 සහිත තාර්කික ප්‍රකාශන සුලුකිරීම සදහා කානව සිතියම් භාවිතය.

W`X`Y`Z`+W`X`YZ`+W`XY`Z`+W`XYZ`+WX`YZ`+WXY`Z`+WXY`Z

 

• කානව සිතියම් එක් එක් කොටුව සදහා එම කොටුව හදුනා ගැනීමට සම්මත අගයක් පැවරිය හැකිය. එම අගය අදාළ කොටුවට හිමි ද්විමය අගය ලබාගෙන එය දශම ‌‍සංඛයාවක් බවට පරිවර්ථනය කිරීමෙන් ලබාගත හැකිය.

 

F(X,Y,Z)=min(0,1,2,4,6,7)

• ඉහත ප්‍රකාශනයට අනුව කානව සිතියම් භාවිතයෙන් සුළුකරනලද SOP ප්‍රකාශනය පහත දැක්වේ.